Ritrovo in piazza a Sanfront col buon Gianni per una scalatina al Bracco... il cielo nuvoloso, la temperatura rigida e, soprattutto, il Bracco immerso nella nebbia ci inducono ad un cambio programma.
Non prima però di aver espletato il consueto rituale della seconda colazione. Segue la ricerca della meta alternativa: passiamo in rassegna le infinite possibilità offerte dalla valle, ma la scelta ricade sull'unica opzione di bassa quota e relativamente vicina.
Una manciata di tiri (5 + 1 ripetizione per chiudere il tiro più ostico) e siamo paghi di questa giornata all'insegna della roccia umida e gelata, della bruma autunnale a centellinare qualche tiepido raggio solare.

La ricerca del miglior sito di arrampicata (ma non solo) in base alle condizioni atmosferiche e i cambi di programma dell'ultimo minuto non sempre riesce col buco. Ti è mai successo di arrivare in un posto a meno e di volerci passare la notte e di non trovare posto nel bell'hotel con vista panoramica? Ti devi quindi accontentare di una cameretta vista muro... Onde evitare tali spiacevoli episodi conviene sempre prenotare in anticipo ma, nel caso tu non l'abbia fatto e voglia fermarti assolutamente in quel posto, ti consiglio di rivolgerti alla catena di alberghi di Hilbert [0]. Chiunque arrivi e a qualunque ora, troverà sempre posto anche se l'albergo è sempre al completo. in realtà più che una catena, il tutto è costituito da un solo hotel fatto da infinite stanze singole, come detto tutte occupate. Ma allora come faccio a trovare posto? Il dottor David Hilbert [1], manager dell'hotel, va gentilmente a chiedere all'ospite che occupa la stanza numero 1 di spostarsi nella stanza numero 2, all'ospite nella 2 di andare nella 3, a quello della 3 di andare nella 4... e così via [2]. Alla fine dell'operazione si è liberata la stanza numero 1 che può accogliere, dopo ovviamente essere stata rifatta dal personale [3], il nuovo ospite. Ma che succede se arriva un pullman con diciamo 30 nuovi clienti? Beh, semplice, Hilbert chiede al cliente che si è appena installato nella camera numero 1 di traslocare nella stanza numero 31, al cliente nella 2 di andare nella 32 e così via... In buona sostanza si sposta il cliente nella stanza n in quella n+30. Et voilà si sono liberate 30 stanze. Magnifico no? Bene allora complichiamo le cose al manager: arriva un pullman con infiniti nuovi clienti che chiedono, tutti insieme, di esservi alloggiati. Allora Hilbert, sempre molto gentilmente e coadiuvato da tutto il personale, chiede a tutti i clienti di spostarsi nelle stanze pari, cioè chiede al cliente nella stanza 1 di andare nella stanza 2, a quello nella 2 di andare nella 4, a quello nella 3 di andare nella 6... e così via. Più in generale chiede al cliente nella stanza n di spostarsi nella stanza 2n; il risultato? Si sono liberate tutte le infinite stanze dispari che, dopo essere state rassettate, possono ricevere gli infiniti nuovi clienti. Il gioco potrebbe continuare a lungo, fino a trovarsi ad alloggiare infiniti pullman di infiniti clienti e a scoprire che siamo di fronte a una infinità numerabile (o Aleph0) la quale non è sola ma è seguita da una infinità di infiniti. Quello che mi preme sottolineare è l'antipragmaticità di un tale Grand Hotel. Prima di tutto vogliamo dare un po' di spazio a questi poveri clienti? Che ne so', 15 m^2 ? Dato che sono infinite le stanze, avremo una superficie occupata dall'hotel di 15 volte infinito (che fa sempre infinito...); pensa se Hilbert invece di aprire un Hotel apriva un campeggio, ogni piazzola da 30 m^2, per una superficie totale doppia di quella dell'hotel (che fa sempre infinito...). Per non parlare dei servizi igienici e dei loro scarichi; dove vanno tutti questi infiniti scarichi? In una cloaca infinita. Decisamente a Hilbert, quando ha progettato il suo hotel, mancava un po' il senso pratico... Per non parlare dei poveri clienti, costretti tutte le volte che arriva qualcuno da sistemare, a fare armi e bagagli e spostarsi in un'altra stanza. E poi, i corridoi, i garage per le auto, gli spazi ricreativi, il ristorante, ma quanto è grande un Grand Hotel infinito? Diciamo che la sua superficie, anzi il suo volume, considerando che potrebbe anche avere infiniti piani, è maggiore del volume di tutto l'universo conosciuto. Questo fatto può avere dei vantaggi ma può presentare anche molti svantaggi. Pensa al panorama che potrebbe avere un cliente dalla finestra [5] affacciata su un bucolico idilliaco pianeta extraterrestre, oppure la visione, da lontano di un buco nero, di una supernova oppure del cielo stellato da un ammasso globulare con nane bianche e giganti rosse. Certo potrebbe anche capitare una stanza sopra un vulcano in attività o al buio pesto delle profondità marine; in questi casi i clienti sono ben felici di cambiare stanza... A proposito del cambiamento di stanza, quanto tempo ci vuole ad un cliente per fare su tutta la sua roba, rimetterla nella valigia e spostarsi nella nuova stanza? Beh, se il tempo di spostamento è sì piccolo ma finito, lo spostamento tra le stanze non finirà mai perchè durerebbe un tempo infinito. L'unica possibilità è che il trasferimento duri un tempo infinitesimo ε (epsilon) dato che è l'unico modo (∞ * ε) di avere un risultato finito che può andare da zero a un numero anche molto grande. La conclusione è che se vuoi startene un po' tranquillo nella tua stanzetta d'albergo, NON andare in un albergo (o campeggio) di Hilbert.

Nota finale: Hilbert ha creato l'hotel, anzi direi un Grand, ma proprio Grand Grand Hotel, in una lezione tenuta a Gottinga nell'ambito del suo corso "I fondamenti dell'aritmetica e della logica" nel 1925.

[0] Dario Palladino: "Il paradosso dell'albergo di Hilbert" Le Scienze, collana I paradossi della scienza 2021
[1] https://it.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
[2] Questo "...e così via" che useremo anche dopo, è la "porta segreta" che conduce all'infinito...
[3] anche il personale di questo speciale hotel merita una menzione: citiamo quindi Hermann Minkowski, Richard Courant [4] e, tra gli apprendisti, un tale John von Newmann, un nerd a cui piacevano molto i computer. Tra i diversi figlioli che il personale portava alle volte in hotel c'era anche un piccoletto con gli occhiali, tale Kurt Goedel, che tanti problemi avrebbe causato al manager Hilbert.
[4] uno degli autori, insieme a Herbert Robbins del bellissimo libro "Che cos'è la Matematica", la mia copia è della Boringhieri, 1971, Universale scientifica.
[5] ebbene sì le stanze hanno anche una finestra che regolarmente viene pulita dal personale.