Che bello sbagliare strada da soli senza l'aiuto di un navigatore o di una intelligenza artificiale; a volte infatti sbagliando si impara e si aumenta la nostra conoscenza, cosa che non succederebbe se ci affidassimo ciecamente ai suggerimenti di un navigatore. Se poi si viaggia su strade conosciute, sovente il nostro percorso differisce da quello suggerito, e l'esperienza e la conoscenza ci fanno fare la scelta migliore. La Conoscenza, gia', anche questa pero' ha le sue trappole e i suoi paradossi.

I paradossi della conoscenza: quando la logica perde completamente il controllo

C’è stato un momento, tra gli anni ’30 e ’60 del Novecento, in cui i più grandi logici del pianeta si riunirono implicitamente per compiere un’impresa memorabile: distruggere con estrema eleganza la fiducia dell’umanità nella razionalità assoluta.

E ci riuscirono benissimo. Prima di allora molti matematici, tra cui il tedesco David Hilbert con il suo tentativo di assiomatizzazione completa della matematica, erano convinti che la conoscenza potesse essere organizzata in un sistema perfetto: completo, coerente, ordinato, senza sorprese. Una specie di ministero della verità gestito da persone che usano molto il punto e virgola.

Poi arrivarono Kurt Gödel, Alfred Tarski, Alan Turing, Frederic Fitch, Alonzo Church, David Kaplan e Richard Montague.

E sostanzialmente dissero:  “Ah. No. Assolutamente no.” Vediamoli...

Kurt Goedel: "Questa frase non puoi dimostrarla. Buona Fortuna."

Gödel fu il primo a presentarsi alla festa con intenzioni distruttive. All’epoca molti matematici sognavano una teoria totale della matematica: un sistema capace di dimostrare ogni verità senza contraddirsi mai. Un paradiso formale. Una Svizzera dei teoremi.

Gödel guardò il progetto, sorrise educatamente e costruì una frase che, tradotta brutalmente, diceva:

“Questa proposizione non è dimostrabile.”

Ora:
* se il sistema riesce a dimostrarla, allora la frase è falsa;
* se non riesce a dimostrarla, allora è vera.

Quindi il sistema contiene verità che non può dimostrare. Game over con garbo viennese. È probabilmente il più sofisticato “specchio riflesso” della storia del pensiero umano. La matematica improvvisamente scopre di avere punti ciechi. È come se un manuale di istruzioni contenesse la frase: “Le istruzioni complete si trovano altrove.”

Da quel giorno i logici smisero di fidarsi completamente dei sistemi formali e iniziarono a guardarli come si guarda una stampante: teoricamente utile, ma pronta a tradirti appena hai una scadenza.

Alfred Tarski: "Il problema siete voi che fate parlare troppo le frasi"

Se Gödel aveva incrinato il sogno della completezza, Tarski arrivò a gestire l’incendio semantico. Il nemico era il famigerato paradosso del mentitore:

“Questa frase è falsa.”

Una proposizione che passa il tempo a fare capriole ontologiche:
se è vera è falsa;
se è falsa è vera.

Praticamente un influencer epistemologico. Tarski capì che il problema nasceva quando il linguaggio cercava di parlare completamente di se stesso. È un po’ come mettere due specchi uno di fronte all’altro: all’inizio sembra elegante, dopo trenta secondi stai fissando l’abisso.

La sua soluzione fu creare livelli linguistici separati: un linguaggio può parlare del mondo, ma la nozione di verità dev’essere definita da un metalinguaggio esterno.

Tradotto:  “Le frasi non dovrebbero autovalutarsi.”

Una regola che, se applicata anche ai social network, migliorerebbe sensibilmente la civiltà occidentale.

Alan Turing: "Ci sono domande che nessuna macchina potra decidere"

E poi arriva Turing, con l’energia di chi sembra tranquillo ma sta per demolire il concetto stesso di procedura meccanica. Turing studia il problema della decisione: esiste un metodo automatico per stabilire sempre se un programma terminerà oppure continuerà all’infinito?

Sembra una domanda tecnica: Errore.
Perché la risposta è: no.

Nasce così il celebre problema dell’arresto. Turing dimostra che non può esistere un algoritmo universale capace di prevedere il comportamento di tutti gli algoritmi. È il momento in cui l’informatica realizza che anche i computer hanno limiti teorici profondi. Non sono oracoli onnipotenti: sono scatole molto veloci che, in certi casi, fissano il vuoto computazionale insieme a noi.

L’idea della dimostrazione è meravigliosamente maligna. Turing immagina una macchina che predice il comportamento delle altre macchine… e poi costruisce una macchina che fa esattamente il contrario di ciò che viene previsto.

È il corrispettivo matematico di chiedere:

“Se mi dici che dormirò, berrò un espresso. Se mi dici che resterò sveglio, prenderò una camomilla.”

La logica, a questo punto, esce a fumarsi una siga.

Alonzo Church-Frederic Fitch: "Se tutto e' conoscibile... allora sapete gia' tutto?"

Dopo Gödel e Turing uno potrebbe pensare: “Va bene, abbiamo imparato la lezione.” Invece no. Perché Fitch decide di prendere una tesi apparentemente innocente:

“Ogni verità è conoscibile.”

Che bella frase. Quasi poetica. Da incidere su un biscotto filosofico della fortuna. Eppure Fitch dimostra che da questa ipotesi segue qualcosa di terrificante: tutte le verità sono già conosciute. Non “potenzialmente”. Non “prima o poi”. Già conosciute.

È il più grande incidente logico causato da una frase ottimista. Il problema nasce quando immagini una verità che nessuno conosce. Se però quella verità è conoscibile, allora qualcuno potrebbe conoscere sia la verità sia il fatto che prima nessuno la conosceva. Ma appena lo fa…non è più sconosciuta. È una trappola epistemica degna di un genio del male con dottorato.

David Kaplan-Richard Montague: la frase che non vuole essere conosciuta

E finalmente compare il Knower Paradox, noto anche come il "paradox Regained" o "il paradosso del conoscitore", il gremlin definitivo dell’epistemologia.

La frase è: “Questa proposizione non è conosciuta.”

Ora:

* se qualcuno la conosce, allora è falsa;
* se nessuno la conosce, allora è vera.

Congratulazioni: hai appena prodotto una verità vera ma apparentemente inconoscibile.

A quel punto metà dei sistemi epistemici collassa rumorosamente. Kaplan e Montague mostrarono che basta permettere abbastanza autoreferenza e la conoscenza inizia a comportarsi come un tostapane posseduto.

È straordinario: la logica tenta disperatamente di organizzare il sapere… e il sapere risponde costruendo frasi suicide.

La morale: il cervello umano ha aperto troppe finestre

La cosa meravigliosa è che tutti questi risultati raccontano la stessa storia.

Gödel: “Non potrete dimostrare tutto.”

Tarski: “Non fate parlare il linguaggio di se stesso.”

Turing: “Non potrete decidere tutto.”

Church e Fitch: “Attenti a cosa considerate conoscibile.”

Kaplan e Montague: “E soprattutto non lasciate la conoscenza da sola con l’autoreferenza.”

Messi insieme, sembrano un gruppo di tecnici disperati che cerca di impedire all’universo di mandare in crash la metafisica. E forse il vero paradosso finale è proprio questo: più diventiamo sofisticati nel capire la conoscenza, più scopriamo che la conoscenza è un oggetto intrinsecamente instabile.

Come una torre costruita con specchi, ricorsione e caffeina. O, più semplicemente, come tentare di compilare un programma scritto da filosofi dopo mezzanotte (magari scritto in LISP).

Bibliografia... (lievemente traumatizzante)

Testi classici sui paradossi della conoscenza e la logica epistemica

"Symbolic Logic" — Frederic Fitch The Ronald Press 1952
  Contiene il celebre argomento che ha dato origine al paradosso della conoscibilità (spesso chiamato “paradosso di Fitch”).

"Knowledge and Belief" — Jaakko Hintikka  Cornell University Press 1962.
  Uno dei testi fondamentali della logica epistemica moderna. Dopo questo libro inizierete a vedere operatori di conoscenza ovunque.

"The Logic of Provability" — George Boolos Cambridge University Press 1993.
  Bellissimo e spietato. Collega Gödel, autoriferimento e logica modale con l’eleganza di qualcuno che maneggia dinamite teorica da molti anni.

"Modal Logic" — Patrick Blackburn, Maarten de Rijke, Yde Venema Cambridge University Press 2001.
  Testo moderno e molto usato per entrare nella logica modale ed epistemica senza perdere immediatamente la volontà di vivere.

Goedel, incompletezza e collasso dei sogni matematici.

"On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems"
("Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e sistemi affini") — Kurt Gödel
  Il testo originale del 1931. Breve, devastante, storicamente paragonabile a entrare in una stanza e spegnere la luce alla matematica del XX secolo.

"La Prova di Gödel" — Ernest Nagel, James R. Newman Bollati Boringhieri Torino 1974.
  Il miglior punto di accesso divulgativo ai teoremi di incompletezza. Riesce nell’impresa quasi soprannaturale di spiegare Gödel agli esseri umani normali.

"Anelli nell'io: Che cosa c'è al cuore della coscienza?"  — Douglas Hofstadter Mondadori 2008
  Autoriferimento, coscienza, Gödel, ricorsione e vertigine metafisica in un unico volume. Da leggere con pause regolari e idratazione abbondante.

"Incompletezza. La dimostrazione e il paradosso di Kurt Gödel" — Rebecca Goldstein Codice Edizioni Torino 2006
  Spiega i teoremi di incompletezza senza usare neanche una formula.

"Tutti pazzi per Gödel" Francesco Berto Editori Laterza 2008
Spiega perche' si e' abusato di questo teorema.

Tarski, verita' e linguaggi che prendono fuoco

The Concept of Truth in Formalized Languages — Alfred Tarski originale del 1931
  Il testo fondamentale sulla teoria semantica della verità. La frase “questa proposizione è falsa” da qui in avanti non sembrerà più innocente.

Introduction to Mathematical Logic — Elliott Mendelson CRC Press 2015
  Classico rigoroso e chiarissimo. Il genere di libro che ti spiega con calma perché il linguaggio non dovrebbe guardarsi allo specchio troppo a lungo.

Turing, computabilita' e limiti dell'algoritmico

On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem — Alan Turing 1936
  Il testo che fonda teoricamente l’informatica moderna e contemporaneamente dimostra che esistono limiti invalicabili al calcolo automatico. Una giornata produttiva.

Alan Turing. Storia di un enigma — Andrew Hodges 1983
  Biografia monumentale e splendida. Contiene matematica, storia, crittografia e il lento emergere dell’idea che i computer non risolveranno magicamente tutto.

Introduction to the Theory of Computation — Michael Sipser Thomson Course Technology 2006
  Ottimo manuale per capire decidibilità, computabilità e perché certi problemi fanno semplicemente esplodere gli algoritmi.

La cattedrale di Turing, Le origini dell'universo digitale George Dyson Codice Edizioni Torino 2012

Sul Knower Paradox e i paradossi autoreferenzialii

Mathematical Logic — Joseph R. Shoenfield Addison-Wesley 1967
  Include discussioni profonde su autoreferenza, teoria della dimostrazione e sistemi formali.

Paradoxes — R. M. Sainsbury Cambridge University Press 2009
  Divertente, brillante e accessibile. Dimostra che i paradossi sono il modo in cui la filosofia ci ricorda di non montarci troppo la testa.

APhEx Portale Italiano di Filosofia Analitica N.ro 18 2018 "Paradossi dell’Intensionalità" Giorgio Sbardolini.

Per chi desidera il danno completo

Gödel, Escher, Bach: un'Eterna Ghirlanda Brillante — Douglas Hofstadter Adelphi 1984
  Il libro definitivo su ricorsione, autoreferenza e sistemi che parlano di se stessi. A metà lettura inizierete a sospettare che anche il tostapane abbia una teoria della coscienza.

Logicomix — Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou Guanda Graphics 2010
  Romanzo grafico magnifico sulla crisi dei fondamenti della matematica. Dimostra che si può avere una crisi epistemologica anche sotto forma di fumetto. Cicerone di eccezione: Bertrand Russell

I paradossi della conoscenza   Sergio Galvan Le scienze 2021


Per fare questo scritto
che pare un misto fritto,
ho chiesto un aiutino
al mio fedele compiuterino.

Se vi sembra fatto bene,
lo confesso, mi conviene:
e allora, ebbene sì,
mi ha aiutato ChatGPT!